Параграф 18

Лекция 9.

§18. Вычисление несобственных интегралов I-го рода от функции действительной переменной с помощью вычетов.: 1. Лемма 1. Теорема 1. Примеры; 2. Лемма 2 (Жордана). Теорема 2. Примеры

1. Лемма 1. Теорема 1. Примеры

Лемма 18.1 Пусть f(z)

(|z|>R₀ Imz>0), за исключением конечного числа изолированных особых точек и |f(z)|<M/|z| ^{1+ d}, d >0. Тогда

f( x =0.
(C'_R - полуокружность |z|=R

Imz>0).
Доказательство.
При R>R₀: |

f( x )d x |

|f( x )|ds<M p R/R^{1+ d}= M p /R^d0 при R

n .
Замечания.
1. Если условия Леммы 18.1 выполнены при j ₁<arg z< j ₂ , то

f( x )d x =0.
(C'_R - дуга окружности, лежащая в данном секторе: |z|=R

( j ₁<arg z< j ₂))
2. Условия Леммы 18.1 будут выполнены, если f(z) является аналитической в окрестности z

, которая является нулем не ниже второго порядка для f(z).
Теорема 18.1. Пусть f(x) задана при -

<x<

и $ аналитическое продолжение f(z) на Im z

0, имеющее конечное число изолированных особых точек z _n , не имеющее особых точек на действительной оси и удовлетворяющее условиям Леммы 18.1 . Тогда $ несобственный интеграл I-го рода

f(x)dx=2 p i

Выч[f(z),z _n].
Доказательство. При R>R₀ рассмотрим замкнутый контур (-R<x<R)

C'_R{|z|=R

Imz>0}. По основной теореме теории вычетов

f(x)dx+

f( x )d x =2 p i

Выч[f(z),z _n ]. Но, по Лемме 18.1

f( x )d x =0, правая часть не зависит от R =>

f(x)dx=2 p i

Выч[f(z),z _n] n .
Замечания.
1. Если f(x)- четная (f(-x)=f(x)) и удовлетворяет условиям Теоремы 18.1, то

f(x)dx= p i

Выч[f(z),z _n]
2. Имеет место аналогичная теорема, когда аналитическое продолжение f(x) в нижнюю полуплоскость удовлетворяет условиям, аналогичным условиям Леммы 18.1 для нижней полуплоскости.

Пример.

f(z)=

;

f(z)dz=
=2 p iВыч[

,e^{i p /n}]=(z₀=e^{i p /n} -полюс 1-порядка)=
=2 p i/(ne^{i p (n-1)/n})=-2 p i/(ne^{-i p /n} ). С другой стороны,

f(z)dz=

f(z)dz+

f( x )d x +

f(z)dz .При R

второе слагаемое

0
(по Замечанию 1 к Лемме 18.1 ) . В третьем слагаемом z=xe ^{i2
p /n}(f( xe ^{i2 p
/n})=f(x)) . Устремив R

, получим

f(x)dx-e^{i2
p /n}f(x)dx= (1-e^{i2 p /n})

f(x)dx=-2 p i/(ne^{-i p /n}) =>

f(x)dx=-2 p i/[(ne^{-i p /n}) (1-e^{i2 p /n})]= p /(n sin p /n).

2. Лемма 2 (Жордана). Теорема 2. Примеры

Лемма 18.2 (Жордана). Если f(z)

(|z|>R₀ Imz>0) за исключением конечного числа изолированных особых точек и f(z)=>0 при |z|

(равномерно по arg z,
0

arg z

p ), z

Imz>0, то при a>0

e^{ia x}f( x )d x =0, C'_R - полуокружность
|z|=R

Imz>0.
Доказательство . "e> 0 $ R : |f(z)|< e( R ) , |z|>R, причем e( R )

0 при R

.
При R>R ₀: |

e^{ia x}f( x )d x |

|e^{ia x}f( x )|ds

{ x =Re^{i j}=x+iy,x=Rcos j , y=Rsin j , ds=Rd j , e^{ia x}=e^ia(x+iy)= e^iaxe^-ay, |e^{ia x}|=e^-ay=e^-ay= =e^{-aRsin j}}

e R

|e^{ia x}|d j = e R

e^{-aRsin j}d j =2 e R

e^{-aRsin j}d j<

<{sin j

(2/ p ) j при 0

p /2}<2 e R

e^{-aR(2/ p
) j}d j = pe (1-e^-aR)/a

0 при R

,
т.к. e( R )

0 при R

(a>0) n .
Замечания.
1 Если f(z) удовлетворяет условиям Леммы Жордана при Imz

0,
то при a<0

e^{ia x}f( x )d x =0, C'_R - полуокружность |z|=R

Imz<0.
2. Если f(z) удовлетворяет условиям Леммы Жордана при Rez

0,
то при a=i a ( a >0)

e^{- ax}f( x )d x =0, C'_R - полуокружность |z|=R

Rez>0.
3. Если f(z) удовлетворяет условиям Леммы Жордана при Rez

0,
то при a=-i a ( a >0)

e^axf( x )d x =0, C'_R - полуокружность |z|=R

Rez<0.
4. Лемма Жордана остается справедливой, когда f(z) удовлетворяет условиям Леммы Жордана при Imz

y₀(Rez

x₀; Imz

y₀; Rez

x₀), y₀(x₀ )- фиксированное число, которое может быть как >0, так и <0, а интегрирование производится по дуге полуокружности |z-i y ₀|=R

Imz>0 (|z-x₀|=R

Imz>0; |z-i y₀|=R

Imz<0; |z-x₀|=R

Imz<0). Доказательство аналогично, но при оценке интеграла следует сделать замену x =Re^{i j}+iy₀( x =Re^{i j}+x₀).
5. Лемма Жордана остается справедливой и при ослабленных условиях на f(z). Пусть f(z) при Imz>y ₀ при |z|>R₀ , равномерно относительно arg(z-iy ₁ ) при |z|

f(z)=>0 в секторах - j ₀arg(z-iy₁)

j ₁, p - j ₂arg(z-iy₁)

p + j ₀ , и равномерно ограничена в секторе j ₁arg(z-iy₁)

p - j ₂ , где 0

j ₀, j ₁, j ₂ p /2 и y ₁>y₀ . Тогда при a>0

e^{ia x}f( x )d x =0, C'_R - полуокружность |z-iy₁|=R

Imz>y₀.

Теорема 18.2 Пусть f(x) задана при -<x< и $ аналитическое продолжение f(z) на Im z0, имеющее конечное число изолированных особых точек z _n , не имеющее особых точек на действительной оси и удовлетворяющее условиям Леммы Жордана . Тогда $ e^iaxf(x)dx=2 p i Выч[e ^iazf(z),z_n ], где z _n - изолированные особые точки в верхней полуплоскости Im z 0.
Доказательство. При R>R₀ рассмотрим замкнутый контур
(-R<x<R)C'_R{|z|=R Imz>0}. По основной теореме теории вычетов
e^iaxf(x)dx+e^{ia x}f( x )d x =2 p i Выч[e ^iazf(z),z_n ]. Но, по Лемме Жордана
e^{ia x}f( x )d x =0, правая часть не зависит от R =>
=> e^iaxf(x)dx=2 p i Выч[e ^iazf(z),z_n] n .
Пример. (k>0, a>0)== == Re p iВыч[ ,ia] =(z₀ = ia -полюс 1-порядка)= Re p i(e^-ka/2ia)= p e^-ka/2a.
Замечание. При незначительном изменении формулировок Лемм 18.1 и 18.2 они остаются справедливыми и в случае бесконечного числа изолированных особых точек f(z).
Определение . Функция комплексной переменной f(z) называется мероморфной, если она определена на всей комплексной плоскости и не имеет в конечной части плоскости особых точек, отличных от полюсов.
Некоторые интегралы
1. =sign(a) p /2
2.    I=, 0<a<1; I= Выч[z ^a-1f(z),z_k]
3.    I=, 0<a<1; I= Выч[z ^a-1(1-z)^-af(z),z_k], a₀=f(z).
4.    I=f(x)ln(x)dx= p i Выч[f(z)(lnz-i p /2),z_k]

Назад Вверх Вперед